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 Navigazione Astronomica da casa

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2019-06-23 Corretta formula di Bennett per la correzione di rifrazione.

In questo articolo mostriamo come determinare la propria posizione sulla Terra usando semplici materiali reperibili in casa e qualche calcolo. Il nostro fine è puramente didattico e i nostri strumenti auto-costruiti molto rudimentali, ma riusciremo comunque a determinare la nostra posizione con una accuratezza di poche decine di Km.

Sommario

Il principio della navigazione astronomica

La posizione degli astri può essere prevista con straordinaria precisione con gli opportuni calcoli. La posizione degli astri principali (Sole, Luna, stelle e pianeti) viene pubblicata ogni anno in appositi almanacchi, così da semplificare il nostro compito. Assegnata data, ora e posizione sulla Terra, è quindi possibile calcolare la posizione degli astri visibili nel cielo.

E' possibile fare anche il vice-versa: assegnata data, ora e posizione degli astri nel cielo, è possibile determinare la posizione sulla Terra. Nel seguito vedremo nel dettaglio come fare.

Determinazione della linea di posizione

Indicheremo con S la posizione dell'astro sulla Terra in un dato giorno e a una data ora, e con P la nostra posizione. Per un osservatore posto in S, i raggi di luce provenienti dall'astro arrivano dallo zenit, cioè gli arrivano dritti in testa. Per noi che ci troviamo nel punto P i raggi di luce arriveranno dalla stessa direzione, ma con un certo angolo rispetto alla verticale; questo angolo si chiama distanza dell'astro dallo zenit e lo indichiamo con la sigla ZD.

Siccome gli astri sono enormemente distanti rispetto alla dimensione della Terra, i raggi che provengono da essi si possono considerare paralleli. Osservando la figura, si vede che la linea verticale in P taglia i raggi paralleli che colpiscono i punti S e P, e quindi l'angolo ZD è anche la distanza angolare del punto P dal punto S misurata nel centro della Terra O. Se la Terra è una sfera perfetta di raggio R, il punto P dista quindi R*ZD dal punto S. Poiché la posizione del punto S la ricaviamo dalle effemeridi, abbiamo quindi determinato la nostra distanza da S.

Supponiamo per esempio di avere misurato ZD=27 DEG per un certo astro. Assumendo il raggio della Terra sia R=6371 Km, ne ricaviamo che la nostra distanza dal punto S è R*ZD = 6371 Km * 27 DEG = 6371 Km * 27 * π/180 = 3002 Km. Su di una carta geografica riportiamo il punto S; apriamo il compasso a 3002 Km, puntiamo su S e tracciamo una circonferenza. Il risultato potrebbe apparire come nella figura qui sotto.

La circonferenza disegnata si chiama LOP (line of position) e contiene tutti i punti dai quali l'astro dista 27 DEG dallo zenit. La nostra posizione P si trova quindi su questa circonferenza, ma non sappiamo ancora dove esattamente. Però possiamo usare un secondo astro, possiamo misurare la sua ZD, possiamo ricavare dalle effemeridi la sua posizione, e infine possiamo tracciare la sua LOP esattamente come abbiamo fatto con la prima. Il risultato sarà una seconda LOP come illustra la figura qui sotto.

Abbiamo trovato due intersezioni A e B tra le due circonferenze, quindi la nostra posizione P sta in uno di questi due punti. Ma in quale dei due, esattamente? Per risolvere questa ambiguità ci sono diversi sistemi:

In certi casi non si ha la possibilità di fare tante osservazioni. Per esempio, durante il giorno tipicamente si vede solo il Sole, per cui ci dovremo accontentare di quello. Come si risolve? Ci sono diversi modi:

Rimangono ancora alcuni problemi pratici da risolvere. Come si misura la ZD di un astro? E come si disegna una circonferenza su di una carta geografica, tenuto conto delle deformazioni della proiezione? E come si calcolano numericamente le intersezioni tra le linee di posizione?

Usare il sestante per misurare l'elevazione degli astri

A bordo di un veicolo in movimento, è difficile individuare la verticale locale a causa dei movimenti del veicolo. A bordo degli aeroplani si usa un sistema inerziale stabilizzato giroscopicamente. A bordo delle navi si preferisce usare il sestante. Il sestante misura la distanza angolare tra due oggetti, per esempio tra un astro e l'orizzonte. Siccome l'orizzonte non è chiaramente visibile di notte, il sestante si usa principalmente di giorno con il Sole. La distanza angolare dell'astro dall'orizzonte si chiama elevazione (ELEV). La relazione tra distanza dallo zenit ed elevazione è molto semplice, essendo la somma dei due angoli pari a 90 DEG:

ZD + ELEV = 90 DEG

da cui si ricavano le formule di conversione tra distanza dallo zenit e altezza sull'orizzonte:

ZD = 90 DEG - ELEV
ELEV = 90 DEG - ZD

Il sestante si può usare anche sulla terraferma usando un orizzonte artificiale. L'orizzonte artificiale è una bacinella contenente acqua o olio. Con il sestante si confrontano quindi la direzione di provenienza dei raggi di luce diretti e dei raggi di luce riflessi. Siccome la superficie del liquido si dispone su di un piano perpendicolare alla verticale del filo a piombo, la luce diretta e la luce riflessa formano tra di loro un angolo pari al doppio della altezza sull'orizzonte (vedere la figura qui sotto).

Guardando dentro al sestante si vedrà a sinistra l'immagine capovolta del Sole riflessa nel liquido, e a destra l'immagine diritta del Sole riflessa negli specchi del sestante. Invece che tentare di allineare i centri dei due soli, conviene allineare i bordi inferiori; l'angolo ottenuto va quindi diviso per due e poi si sottrae il semi-diametro apparente del Sole, che è 15 primi d'arco, cioè 0.25 DEG.

Ma noi non disponiamo di un sestante e per lo più viviamo sulla terraferma, per cui ci serve qualcosa di più semplice e più pratico. Ci serve un astrolabio.

Costruiamo un astrolabio

Il nostro "astrolabio" sarà un goniometro per misurare l'elevazione del Sole sull'orizzonte. Lo stesso strumento si potrà usare anche per qualsiasi altro astro, ma il nostro mirino sarà specializzato per il Sole.

Usiamo un cartoncino di recupero, tipo quello usato per la confezione degli alimenti o per la confezione dei vestiti. Con la matita tracciamo sul cartoncino un quadrato perfetto di lato 200 mm circa. La dimensione esatta non ha molta importanza, ma è importante che sia proprio quadrato. Assicurarsi quindi che i lati siano fra di loro uguali e che le diagonali siano fra di loro uguali. Prendere un compasso e aprirlo alla larghezza di un lato; puntare sul vertice in alto a destra e tracciare un arco di 90 DEG (figura A).

Figure A, B e C.

Senza cambiare l'apertura del compasso, puntare sui vertici in alto a sinistra e in basso a destra e tracciare i riferimenti per gli angoli di trenta gradi. Con l'aiuto di un righello tracciamo le corde di ogni arco di 60 gradi, individuiamo il punto di mezzo e usiamo questo riferimento per tracciare ulteriori suddivisioni in archi di 15 DEG. In questo modo abbiamo suddiviso l'angolo retto in 6 archi di 15 DEG ciascuno.

Tracciare le corde per gli archi di 15 DEG (figura B). Siccome gli archi così piccoli sono quasi dritti, possiamo usare il righello per suddividerli in 15 intervalli uguali, che saranno i gradi. La figura mostra il processo di suddivisione della corda per gli angoli tra 30 e 45 DEG. L'errore angolare massimo che commettiamo approssimando gli archi di 15 DEG con le corde rettilinee suddivise in 15 parti uguali non supera i ±0.017 DEG, errore del tutto accettabile per i nostri scopi; nelle nostre letture della scala potremo stimare "ad occhio" 0.5 o al meglio 0.2 DEG mentre l'errore di suddivisione è dieci volte più piccolo. Per gli altri intervalli si procederà allo stesso modo. In figura C è la scala goniometrica completa.

Se il cartoncino è troppo flessibile, potremo irrigidirlo applicando sul retro 4 o cinque anelli ricavati da striscioline di cartoncino, e incollarle insieme a un secondo strato di cartoncino.

Completiamo l'opera inserendo un perno nel vertice in alto a destra costituito da una graffetta raddrizzata. Nel perno infiliamo il filo a piombo libero di ruotare; per il pesetto si può usare una rondella o un dado di bullone. Infine applichiamo a sinistra un piccolo schermo dove il Sole proietterà l'ombra del perno. Nello schermo bisogna anche tracciare una linea di fede perfettamente allineata con il perno. La figura qui sotto mostra il nostro astrolabio completo.

Misuriamo l'elevazione del Sole con l'astrolabio

Mantenere il piano dell'astrolabio verticale in modo che il filo a piombo sia libero di oscillare a pochi millimetri dal piano del goniometro. Dirigere il perno verso il Sole fino a quando la sua ombra appare sulla linea di fede dello schermo. Può essere necessario smorzare le oscillazioni del filo a piombo. Controllare di nuovo il puntamento sullo schermo e leggere l'inclinazione segnata dal filo a piombo sulla scala del goniometro. Dovrebbe essere possibile stimare l'elevazione del Sole con la precisione di 0.5 DEG, forse anche 0.2 DEG. Annotare subito questo angolo e l'ora esatta UTC con la precisione dei secondi. Il tempo UTC è l'ora locale meno il fuso orario e meno l'eventuale ora legale.

Una lettura potrebbe essere ad esempio:

UTC Star Lat Lon Elev
2018-10-18 09:51:30 sun1 33.0
2018-10-18 12:12:30 sun2 32.8

Dal sito web TheNauticalAlmanac.com scarichiamo le effemeridi del Sole per l'anno 2018 in formato PDF, versione compatta. Alla pagina "2018 October 13 to Oct. 27" individuiamo il giorno 18 di ottobre:

La tabella riporta le posizioni del Sole alle varie ore del giorno. Alle ore 9 il Sole ha un GHA di 318 gradi e 42.2 primi, e una declinazione di -9 gradi e 39.1 primi. La declinazione non è altro che la latitudine del Sole. Conviene esprimere la latitudine in gradi frazionari dividendo i primi per 60, ed ottenendo così il valore -9.65 DEG. Due cifre decimali sono più che sufficienti per i nostri scopi.

Il GHA è il Greenwich Hour Angle, cioè la longitudine misurata a partire dal meridiano zero di Greenwich e procedendo verso ovest fino a tornare al meridiano di Greenwich. Anche qui conviene prima trasformare i primi in frazione di grado, ottenendo un GHA di 318.70 DEG. Il GHA coincide con la longitudine per valori da 0 a 180, mentre bisogna sottrarre 360 per valori oltre i 180 gradi:

lon = GHA   per GHA fino a 180 DEG
lon = GHA - 360   per GHA oltre 180 DEG

Nel nostro caso otteniamo per la longitudine del Sole lon = -41.30 DEG.

Procediamo allo stesso modo per le ore 10, 11, 12 e 13, ottenendo questa tabellina:

Hour Lat Lon
9 -9.65 -41.30
9.51 -9.66 -33.65
10 -9.67 -26.30
12 -9.70 +3.71
12.21 -9.70 +6.86
13 -9.71 +18.71

Le righe evidenziate riportano l'ora frazionaria dell'osservazione e i valori di latitudine e longitudine interpolati con i valori immediatamente precedenti e seguenti nella tabella. Le formule usate sono:

frazione_di_ora = minuti/60 + secondi/3600
valore_interpolato = (valore_dopo - valore_prima) * frazione_di_ora + valore_prima

Ad esempio, l'ora 09:51:30 della prima osservazione diventa 9.51; i valori interpolati per la latitudine e la longitudine del Sole in quel momento sono:

lat = (-9.67 + 9.65) * 0.51 - 9.65 = -9.66
lon = (-26.30 + 41.30) * 0.51 - 41.30 = -33.65

Attenzione ai segni dei numeri!

Possiamo finalmente completare la tabellina delle nostre osservazioni andando a riportare le coordinate del Sole nei momenti delle osservazioni:

UTC Star Lat Lon Elev
2018-10-18 09:51:30 sun1 -9.66 -33.65 33.0
2018-10-18 12:12:30 sun2 -9.70 +6.86 32.8

Adesso abbiamo tutti i dati necessari per risolvere la nostra posizione: abbiamo le coordinate di due astri (il Sole ad ore diverse), abbiamo l'elevazione sull'orizzonte degli astri e quindi abbiamo le loro ZD e possiamo tracciare le rispettive linee di posizione LOP. Per determinare le intersezioni tra le LOP possiamo usare due metodi: il computer analogico, o il computer digitale.

Risolvere la posizione con il computer analogico

Per costruire il nostro computer analogico ci serve il seguente materiale:

Procediamo come segue:

  1. Con il nastro adesivo, ritagliamo due frecce e le applichiamo sul mappamondo nei punti sun1 e sun2 dove il Sole si trovava nei momenti delle osservazioni.
  2. Tagliamo due spezzoni di spago lunghi come le distanze dallo zenit delle due osservazioni. Nel nostro caso abbiamo ZD1 = 90 - 33.0 = 67 DEG per sun1 e ZD2 = 90 - 32.8 = 57.2 DEG per sun2. Possiamo misurare le lunghezze stendendo lo spago lungo l'equatore del mappamondo, che di solito mostra una scala fine degli angoli.
  3. Porre una estremità del primo spago nel punto sun1, e una estremità del secondo spago su sun2.
  4. Ruotando i due spaghi sulla superficie del mappamondo, individuare i due punti dove gli spaghi si incontrano. Questi sono i "fix point" A e B intersezione delle LOP.

Possiamo scartare il punto B perché il Sole appariva a sud. La nostra posizione è quindi A.

Risolvere la posizione con il computer digitale

E' possibile calcolare le intersezioni A e B delle LOP anche numericamente con maggior precisione usando la pagina del computer di navigazione astronomica. Riportare nelle caselle di input della pagina il nome della osservazione (per esempio sun1 e sun2), la latitudine e la longitudine del Sole, e la sua elevazione:

E' bene attivare la correzione di rifrazione, indispensabile per elevazioni sotto i 10 DEG. Infine premiamo il pulsante Compute. La pagina calcola i punti di intersezione delle LOP:

sun1-sun2-A = lat 44.422 ± 0.219, lon -13.674 ± 0.689
sun1-sun2-B = lat -65.030 ± 0.219, lon -14.093 ± 1.166

e mostra le LOP in un grafico:

Nel mio caso il secondo punto "sun1-sun2-B" lo posso scartare perché il Sole appariva a sud. Con solo due osservazioni ho così determinato che le mie coordinate sono lat 44.392 ± 0.219, lon -13.679 ± 0.689. Notare che il calcolatore stima anche l'errore basandosi sull'errore della elevazione, che io ho stimato essere 0.2 DEG.

La Terra non è una sfera e perché ciò non importa

La cattiva notizia: la Terra non è una sfera, ma ha una forma molto complicata. Quindi tutti i ragionamenti qui sopra, almeno in una certa misura, sono sbagliati. La buona notizia: i nostri ragionamenti sulla sfera vanno bene lo stesso purché siano fatti solo su latitudini, longitudini e distanze dallo zenit. Vediamo perché.

Per gli scopi della navigazione è stata definita una forma convenzionale della Terra che si chiama WGS-84. Latitudini e longitudini sono sempre riferite a questa forma convenzionale della Terra, sia sulle carte di navigazione, sia col GPS. L'asse minore dell'ellissoide WGS-84 coincide con l'asse polare, e il centro dell'ellissoide coincide con il centro gravitazionale della Terra.

Gli assi minore e maggiore sono stati definiti in modo che la superficie dell'ellissoide combaci con la superficie delle acque dei mari, a meno di poche decine di metri in più o in meno:

a = 6378137.0000 m
b = 6356752.3142 m

I meridiani sono le linee che congiungono i due poli; la longitudine è la distanza angolare di un meridiano rispetto al meridiano zero di Greenwich. Nessuna sorpresa qui.

Ma la cosa che interessa di più a noi è come è stata definita la latitudine. Dato un punto arbitrario P, la verticale locale è la perpendicolare alla superficie dell'ellissoide nel punto A e passante per P. La latitudine di P è l'angolo che la verticale locale PA forma con il piano equatoriale. Notare che il vertice di questo angolo non è il centro della Terra, ma un punto B che varia con la latitudine. Tutto questo significa che la latitudine e la longitudine di un punto P indicano come la verticale locale è orientata nello spazio.

Ad esempio, la Stella Polare ha (circa) ZD=0 DEG al Polo Nord, e ZD=90-lat a qualsiasi latitudine lat. In altre parole, la distanza dallo zenit di un astro è caratteristica della latitudine e longitudine del luogo, qualunque sia la forma esatta della Terra. I nostri ragionamenti e i nostri calcoli, che coinvolgono solo ZD, sono quindi indipendenti dalla forma esatta della Terra.

Le cose vanno in modo completamente diverso quando si vogliono misurare distanze tra punti lontani. Solo in questo caso bisogna tener conto che la Terra non è una sfera, e bisogna considerare l'ellissoide WGS-84 per ottenere risultati accurati.

Riferimenti


Umberto Salsi
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